Лёгкое введение в математический анализ

13 мар 2019 в 18:13

Данная статья является переводом статьи A Gentle Introduction To Learning Calculus.


Автор оригинала: Kalid Azad, перевёл: Филипп Сорокин.


Это третий перевод из серии статей на тему математического анализа, хотя по хронологии статья является первой. В дальнейшем переводы статей будут идти в соответствии с оригинальной хронологией, с пропуском уже переведённых.


Статья рассчитана на студентов и всех интересующихся высшей математикой, и представляет из себя введение в математический анализ с рассуждениями и интересными примерами его применения. Подойдёт и для чайников.




Введение


Мои отношения с математическим анализом строятся на любви и ненависти: этот предмет демонстрирует красоту математики и агонию математического образования.


Математический анализ связывает темы в элегантной, ломающей мозг манере. Моя ближайшая аналогия – теория эволюции Дарвина: однажды поняв, вы начинаете видеть природу с точки зрения выживания. Вы начинаете понимать, почему употребление лекарств приводит к появлению микробов, устойчивых к ним (выживание сильнейших). Вы понимаете, почему сахар и жир настолько вкусны (вкус, как поощрение за потребление высококалорийных продуктов в период дефицита). Всё начинает сходиться.


Математический анализ даёт такое же прозрение. Не кажется ли вам, что эти формулы каким-то образом связаны между собой?


Формулы для нахождения длины окружности и площади круга, а также площади поверхности и объёма сферы

Да, они связаны. Но большинство из нас изучает эти формулы по отдельности. Математический анализ помогает нам разобраться с каждой, начиная с длины окружности, равной 2πr – греки оценили бы это.


К сожалению, математический анализ может стать олицетворением того, что с математическим образованием что-то не так. Большинство уроков строятся на надуманных примерах, скрытых доказательствах и запоминании, что отбивает нашу интуицию и энтузиазм.


Так не должно быть.




Математика, искусство и идеи


Я кое-чему научился в школе: в математике самое трудное – не математика, а мотивация. В частности, мотивация оставаться воодушевлённым несмотря на:


- Преподавателей, которых больше заботит издание своих научных трудов, чем преподавание.


- Бытующие мнения, что математика – это сложно, скучно, непопулярно или «не ваш предмет».


- Учебники и программы обучения, которые больше заточены на получение прибыли и результатов тестирования, чем на понимание предмета.


«Плач математика» [pdf] является отличным эссе по этому вопросу, вызвавшим общественный резонанс (здесь было 3 ссылки, 2 из которых оказались битые – прим. пер.):

«…если бы мне пришлось разрабатывать механизм, предназначенный специально для разрушения естественного любопытства и любви к построению закономерностей у детей, я бы никогда не справился с этой работой так же хорошо, как это делается сейчас – у меня бы просто не хватило воображения, чтобы придумать настолько бессмысленные, душераздирающие идеи, которые составляют современное математическое образование.»

Представьте себе такое изучение искусства: Дети, никакого рисования руками в детском саду. Вместо этого, давайте-ка изучим химию красок, физику света и анатомию глаза. По прошествии 12 лет эти дети (которые уже подростки), если ещё не ненавидят искусство, смогут начать рисовать самостоятельно. В конце концов, у них есть «строгие, проверяемые» основы для того, чтобы начать ценить искусство. Правильно?



С поэзией также. Представьте себе процесс изучения этой цитаты (формулировки):

«Но главное – будь верен самому себе, и, следственно, как дважды два – четыре, ни перед кем не будешь ты фальшив.» – Вильям Шекспир, Гамлет

Математика и поэзия – это пальцы, указывающие на Луну. Не путайте палец с Луной. Формулы – это средство достижения цели, способ выразить математическую истину.


Мы забываем, что математика – это идеи, а не рутинные манипуляции с формулами, которые их выражают.




Ладно, приятель, в чём твоя отличная идея?


Дерзкие, да? Ну, чего я точно не буду делать, так это воссоздавать учебники по подобию уже существующих. Если вам прямо сейчас нужны ответы для какого-то серьёзного экзамена, то есть множество веб-сайтов, видеозаписей уроков и 20-минутных спринтов, чтобы помочь вам (оригинальные ссылки на англоязычные ресурсы – прим. пер.).


Вместо этого, давайте обсудим основные идеи математического анализа. Уравнений недостаточно – я хочу делиться «ага!»-моментами, от которых что-то щёлкает внутри.


Формальный математический язык – это лишь один из способов общения. Диаграммы, анимации и просто разговоры зачастую могут дать больше понимания, чем страница книги, полная доказательств.




Но мат. анализ – это сложно!


Я думаю, что любой сможет понять основные идеи математического анализа. Нам не нужно быть писателями, чтобы наслаждаться Шекспиром.


Это в пределах вашей досягаемости, если вы знаете алгебру и имеете простой интерес к математике. Не так давно чтение и письмо были работой опытных писцов. Но сегодня с этим может справиться и 10-летний ребёнок. Почему?


Потому что мы этого ожидаем. Ожидания играют огромную роль в том, что нам кажется возможным. Поэтому ожидайте, что мат. анализ – это просто ещё один предмет. Для немногих из нас это становится повседневной работой (писатели, математики). Но остальные всё ещё могут восхищаться тем, что происходит, и расширять свой кругозор.


Дело в том, как далеко ты намерен зайти. Я бы хотел, чтобы все смогли понять основные идеи математического анализа и сказали «вау».




Так о чём же мат. анализ?


Некоторые называют математический анализ «отраслью математики, которая занимается нахождением пределов, дифференцированием и интегрированием функций одной или нескольких переменных». Это правильно, но не несёт пользы для начинающих.


Вот моё мнение: мат. анализ делает с алгеброй то, что алгебра сделала с арифметикой.



- Арифметика – это манипулирование числами (сложение, умножение и т.д.).

- Алгебра находит закономерности между числами: a2 + b2 = c2 – известное соотношение, описывающее стороны прямоугольного треугольника. Алгебра находит целые множества чисел – если вы знаете a и b, то вы можете найти c.

- Математический анализ находит закономерности между уравнениями: обратите внимание, как одно уравнение (длина окружности = 2πr) походит на другое (площадь окружности = πr2).



При использовании мат. анализа у нас появляются новые вопросы:


- Как уравнение растёт и сжимается? Накапливается ли со временем?

- Когда оно достигает своего самого высокого/низкого значения?

- Как мы используем переменные, которые постоянно меняются? (тепло, движение, популяция, …).

- И множество других вопросов!



Алгебра и математический анализ – это дуэт для решения проблем: мат. анализ находит новые уравнения, а алгебра решает их. Как и эволюция, мат. анализ расширяет ваше понимание того, как работает природа.




Пример, пожалуйста


Давайте пройдёмся. Предположим, мы знаем уравнение для нахождения длины окружности (2πr) и хотим найти площадь круга. Что делать?


Представьте окружность в виде диска, который, как матрёшка, заполнен кольцами, идущими от краёв к центру.


Рассечение круга

Есть два способа изобразить диск:


- Нарисовать круг и закрасить его.

- Нарисовать множество колец толстым маркером.



Количество «пространства» (площади) должно быть одинаковым в обоих случаях, верно? Но как много пространства занимает одно кольцо?


Ну, самое большое кольцо имеет радиус «r» и длину окружности «2π», умноженную на текущий радиус. А последнее кольцо (самое маленькое – прим. пер.) больше похоже на точку без окружности.


Развёртывание колец

Теперь всё выглядит совершенно необычно. Давайте развернём эти кольца и выстроим каждое из них в линию. Что произойдёт?


- Мы получим кучу линий, образующих неровный треугольник. Но чем тоньше и чаще будут расположены кольца, тем менее зубчатым будет треугольник (подробнее об этом в будущих статьях).

- С одной стороны будет наименьшее кольцо (0), а с другой наибольшее (2πr).

- У нас есть кольца, идущие от радиуса, равного 0, до равного «r». Для каждого возможного радиуса (от 0 до r) мы просто вставляем развёрнутое кольцо в соответствующее место.

- Общая площадь «кольцевого треугольника»: 1/2 основания * высоту = 1/2 (r) * (2πr) = πr2, что и является формулой для нахождения площади круга!



Вау! Площадь всех колец = Площадь треугольника = Площадь круга!


Анимация развёртывания колец
(Изображение из Википедии)


Это был быстрый пример, но вы ведь уловили основную мысль? Мы взяли диск, разделили его и сложили сегменты по-другому. Математический анализ показал нам, что диск и кольцо тесно связаны: диск на самом деле просто куча колец.


Это частая тема мат. анализа: Большие штуки складываются из маленьких частей. И иногда с маленькими частями проще работать.




Примечание о примерах


Многие примеры из математического анализа основаны на физике. Это здорово, но это же может быть трудно для понимания: ответьте честно, как часто вы вспоминаете уравнение для нахождения скорости объекта? Реже, чем раз в неделю.


Я предпочитаю начинать с физических, визуальных примеров, потому что так работает наш ум. Например, можем ли мы сделать такое же кольцо/круг, как в примере выше? Вы можете собрать такой круг из нескольких трубоочистителей, разделить на кольца и выпрямить их в грубый треугольник, чтобы проверить, действительно ли математика работает. С уравнением для вычисления скорости так не прокатит.




Примечание о соответствии канонам (для математических гиков)


Я чувствую, как математические педанты заводят свои клавиатуры. Несколько слов о «строгости».


Знаете ли вы, что мы изучаем не тот же самый мат. анализ, каким он был во времена открытия Ньютоном и Лейбницем? Они использовали интуитивные идеи «флюксий» и «бесконечных чисел», которые в последствии были вытеснены пределами, так как «Конечно, это работает на практике. Но работает ли это в теории?».


Мы создаём сложные механические конструкции, чтобы «в соответствии с канонами» доказывать математический анализ, но мы потеряли нашу интуитивное понимание в процессе.


Мы смотрим на сладость сахара, как на химическую реакцию в мозге вместо того, чтобы признать его способом природы сказать: «В этом много энергии. Ешь это.»


Я не хочу (и не могу) преподавать курсы анализа или обучать исследователей. Разве было бы плохо, если бы все понимали мат. анализ на «нестрогом» уровне, таким, каким его сделал Ньютон? Изменило ли бы это их взгляд на мир, как изменило у Ньютона?


Преждевременное внимание к «канонам» отталкивает студентов и затрудняет изучение математики. Пример: e технически определяется пределом, но интуитивное понимание экспоненциального роста в том, как он был открыт. Натуральный логарифм можно рассматривать, как интеграл, или как время, необходимое для роста. Какое из объяснений лучше подойдёт начинающим? (перевод двух статей из этого абзаца будет позже – прим. пер.)


Давайте немного порисуем руками и по ходу этого займёмся химией. Счастливой математики!



(P.S. один добрый читатель создал анимированное слайд-шоу в PowerPoint, которое представить идеи статьи более визуально (лучше всего просматривать в PowerPoint, так как там есть анимация). Спасибо!)




Статьи из серии про мат. анализ от Kalid Azad:




Комментарии

Данная страница не является рекламой