Понимание мат. анализа на примере счёта в банке

16 мар 2019 в 22:38

Данная статья является переводом статьи Understanding Calculus With A Bank Account Metaphor.


Автор оригинала: Kalid Azad, перевёл: Филипп Сорокин.


Цель данной статьи – нескучное объяснение дифференциального и интегрального исчисления на простых и житейских примерах того, как зависит счёт в банке от зарплаты, и как зарплата зависит от прибавок.




Введение


Примеры из математического анализа скучны. «Эй, дети! Вы когда-нибудь задумывались о расстоянии, скорости и ускорении движущейся частицы? Нет? Придётся запереть вас здесь на 50 минут!»


Я люблю вещи, связанные с физикой, но это не лучшее начало. Вы вынуждены ждать появления научных классов (до 9 класса?) и, что ещё хуже, это означает, что математический анализ – это «математика для научного класса». Разве мы не можем объяснить эти темы пятиклассникам на примерах из их повседневной жизни? (В США предмет «Исчисление» («Calculus») – альтернативное название математического анализа, вводится в 9-12 классах старшей школы – прим. пер.).


Я думаю, можем. Так что вот цель:


- Использование денег вместо физики для объяснения концепции исчисления.

- Изучение того, как работают закономерности (между банковским счётом и зарплатой, зарплатой и прибавками).

- Использование интуиции для исследования потенциально возможных проблем (где нужно искать закономерности?).


Наденьте математический шлем, время нырять.




Деньги, деньги, деньги


Мой любимый математический пример – это отношения между вашим счётом в банке, зарплатой и повышениями.


Вот Джо («Привет, Джо»). А вы – хитрый негодяй, который прокрадывается к компьютеру Джо каждую неделю и следит за его банковским счётом. Что вы можете для себя из этого вынести?


Еженедельная история счёта - Ничего не меняется

Умозаключение. Очевидно, ничего особенного мы не узнали – Джо ничего не зарабатывает. Но что, если вы увидите это?


Еженедельная история счёта - Зарплата $100 в неделю

Всё просто: Джо зарабатывает деньги. И сколько? С помощью простого вычитания мы можем вычислить его недельную зарплату. Оказывается, Джо зарабатывает 100 долларов в неделю.


Ключевая мысль: Если я знаю историю вашего банковского счёта, я знаю вашу зарплату.


Банковский счёт зависит от зарплаты – он меняется при еженедельных поступлениях.




Пойдём дальше


Давайте взглянем глубже: что мы можем выяснить ещё, зная зарплату? Ну, зарплата – это ещё одна штука для анализа – мы можем выяснить, меняется ли она! То есть, мы можем сказать, увеличилась ли недельная зарплата Джо (получил ли он прибавку?).


Процесс такой:


- Посмотрим на еженедельную историю счёта.


- Посчитаем разницу между количеством денег на счету за каждую неделю, чтобы вычислить еженедельные показатели зарплаты.


- Посчитаем разницу между показателями зарплаты, чтобы получить информацию о еженедельных прибавках (если они есть).


В примере выше зарплата остаётся на уровне $100 за неделю, и понятно, что повышения нет (извини, Джо). Основная идея состоит в том, чтобы взять разницу для анализа первого шаблона (с помощью сумм на счету узнаём зарплату) и «снова взять разницу» для нахождения ещё одного шаблона (с помощью зарплаты узнаём прибавку).




Работа в обратном направлении


Мы просто нашли зарплату с помощью истории счёта. Работает ли это в другом направлении: зная зарплату, можем ли мы предсказать сумму на банковском счёте?


Я вижу, вы колеблетесь с ответом. Да, знать, что Джо получает 100 долларов в неделю, приятно. Но… разве нам не нужно знать начальный баланс счёта?


Да! Знания изменений на счёте (поступлений зарплаты) недостаточно – нужно знать, с чего всё началось? Для простоты (так, как бывает в домашнем задании) вы можете предположить, что Джо начал с $0. Но, если вы хотите сделать реалистичный прогноз, вы захотите узнать начальные условия («+C»).




Более сложный пример


Предположим, что сумму на счету Джо растёт так: 100, 300, 600, 1000, 1500…


Еженедельная история счёта - Прибавка к зарплате $100 в неделю

Что происходит? Это рандом? Ну, давайте сделаем еженедельное вычитание, чтобы узнать зарплату:


Еженедельная история зарплаты

Интересно – доход Джо меняется каждую неделю. Мы можем сделать ещё одно еженедельное вычитание, чтобы узнать прибавки:


Еженедельная история прибавок к зарплате

И мы их узнаём. Джо получает постоянную прибавку в 100 долларов в неделю. Давайте изобразим это сумасшествие на едином графике:


Сопоставление еженедельных истории счёта, зарплаты и прибавки к зарплате

Джо получает прибавку каждую неделю, что меняет его зарплату, каждое поступление зарплаты изменяет сумму на банковском счёте. По мере того, как прибавки продолжают появляться, его зарплата продолжает расти, как и сумма на счёте. Вы даже можете представить, как прибавки «подталкивают» зарплату, а та в свою очередь «подталкивает» счёт.




Так… Где тут мат. анализ?


Какова формула для нахождения суммы на банковском счёте Джо за любую неделю? Это сумма его зарплаты до того момента:

100 + 200 + 300 + 400… = 100 * n * (n + 1)/2

Формула для сложения ряда чисел (1 + 2 + 3 + 4…) очень близка к n2/2, и приближается по мере увеличения количества шагов (перевод статьи про сложение рядов будет позже – прим ред.).


Это наше первое математическое исследование:


- Постоянный прирост зарплаты $100 в неделю приводит к…

- Линейному увеличению зарплаты (100, 200, 300, 400), которое приводит к…

- Квадратичному (что-то, умноженное на n2) увеличению суммы на банковском счету (100, 300, 600, 1000… мы видим, как кривая линия изгибается!).


Теперь разберёмся, почему это примерно 1/2 * n2, а не просто n2? Только интуиция: линейное увеличение зарплаты (100, 200, 300) можно представить в виде треугольника. Площадь треугольника представляет собой все платежи до отдельного момента, и эта площадь равна 1/2 * основание * высоту треугольника. Основание – n (количество недель), а высота (доход) – 100 * n.


Геометрические аргументы становятся более трудными при высших измерениях – то, что мы просто потренироваться с добавлением 2*100 не означает, что это самый лёгкий путь. Мат. анализ даёт нам правила перехода между шаблонами (с помощью взятия производных и интегралов).




Пункты для изучения


Понимание банковских счетов, зарплат и прибавок даёт нам почву для исследований.



Можем ли мы вычислить суммарный доход между 1 и 10 неделями?


Конечно! Есть два способа: мы можем сложить наш доход за каждую неделю (зарплата за 1 неделю + зарплата за 2 неделю + зарплата за 3 неделю…) или просто вычесть одну сумму на банковском счёте из другой (сумма 10 недели - сумма 1 недели). Эта идея имеет сочное название: Основная Теорема исчисления.



Можем ли мы продолжать углубляться (находить производные), используя прибавки?


А почему бы и нет? Если прибавка $100/неделя и мы снова берём производную, то получаем 0 (нет «прибавки к прибавке», то есть размер прибавки от недели к неделе не меняется). Но мы можем представить случай, когда размер прибавки увеличивается (1 неделя = 100, 2 неделя = 200). Используем нашу интуицию: если «прибавка к прибавке» постоянная, то прибавка увеличивается линейно, доход – квадратично (что-то, умноженное на n2), а сумма на счету – кубически (что-то, умноженное на n3). И да, это верно!



Может ли дифференцирование продолжаться вечно?


Да. Может быть такая связь: счёт в банке => зарплата => прибавка => инфляция => производство коровьего молока фермером Джо => то, сколько еды Джо даёт своей корове каждую неделю. Многие примеры «перестают давать производные», как только мы добираемся до основной причины. Но некоторые интересные модели, такие как экспоненциальный рост, имеют бесконечное количество компонентов! У нас есть проценты, которые приносят проценты, которые приносят проценты, которые приносят проценты… бесконечно! Вы никогда не сможете найти единственную «первопричину» своего банковского счёта, потому что в него вошло бесконечное количество компонентов (как-то страшно).



Что произойдёт, если прибавка будет отрицательной?


Хороший вопрос. Когда прибавка станет отрицательной, зарплата начнёт снижаться. Но, пока зарплата выше нуля, банковский счёт будет расти! Хоть это и обидно, но переход от $200 до $100 в неделю всё же будет приносить плюс на банковский счёт. В конце концов, отрицательная прибавка превысит зарплату, сделав её отрицательной, а это означает, что теперь Джо будет платить своему работодателю. Но до этого момента банковский счёт Джо будет расти.



Как часто (с какими интервалами – прим. пер.) мы можем проверять разницу?


Предположим, мы исследуем портфель акций, а не банковский счёт. Возможно, нам понадобится посекундная модель нашего дохода и баланса счёта. Идея состоит в измерении с достаточно короткими интервалами для получения необходимой нам детали – важный вопрос в мат. анализе: до какого «предела» нужно дойти, чтобы сказать: «Ок, для меня этого точно будет достаточно!».


Формулы исчисления, которые вы обычно встречаете (интеграл от x = 1/2 * x2), отличаются от «дискретных» формул (сумма от 1 до n = 1/2 * n * (n + 1)) тем, что в дискретном случае используются интервалы «кусочками» (определённого размера, более значительного, чем бесконечно малые числа – прим. пер.).




Ключевые моменты


Почему мне так хочется использовать аналогии? Традиционные «расстояние, скорость, ускорение» не приводят к правильным вопросам. Какова следующая производная ускорения? (Это называется «рывок», но он редко используется.) Как пример, – дети, которые думают, что умножение применяется только для нахождения площади, и работает только с двумя числами одновременно.



Вот несколько ключевых моментов:


- Исчисление помогает нам находить взаимосвязь (банковский счёт, зарплата, прибавка).


- «Производные» позволяют «идти вглубь» взаимосвязей (поиск еженедельных изменений для получения зарплаты).


- «Интегралы» позволяют «подниматься выше» (складывание зарплаты для того, чтобы узнать сумму на банковском счёте).


- Мы можем вывести формулу для шаблона (с помощью моего банковского счёта предсказать зарплату) или получить конкретное значение (какова моя зарплата за 3 неделю?).


- Исчисление полезно вне естественных наук. Если у вас есть шаблон или формула (уровень производства, население, ВВП страны) и вы хотите изучить поведение предмета, исчисление – подходящий инструмент для вас.


- Изучение исчисления подразумевает запоминание правил нахождения формул производных и интегралов. Изучите основы (xn, e, ln, sin, cos), остальное оставьте для машин. Наши умственные силы лучше потратить на умение переводить мысли на математический язык.



В мире моих фантазий производные и интегралы – это всего лишь два повседневных понятия. Они – просто что-то, «что мы можем применить» к формулам, как сложение и вычитание – это что-то, «что мы можем применить к числам».

- Эй, дети, мы находим суммарную массу, используя сложение (Масса 1 + Масса 2 + Масса 3). И используем производную для того, чтобы узнать, как меняется наше значение.

- Ну и что? Сложение – это то, как мы объединяем вещи. Производная – чтобы увидеть, как меняется значение. Расскажи что-нибудь ещё.

Всегда можно помечтать. Счастливой математики!



P.S. хотите ещё?


- У меня есть другое введение в мат. анализ с картинками с точки зрения фигур.

- Научитесь видеть интегрирование, как лучшее умножение.




Статьи из серии про мат. анализ от Kalid Azad:




Комментарии

Данная страница не является рекламой