Аналогии мат. анализа: Интеграл, как умножение

11 мар 2019 в 19:05

Данная статья является переводом статьи A Calculus Analogy: Integrals as Multiplication.


Автор оригинала: Kalid Azad, перевёл: Филипп Сорокин.


Это вторая статья на тему математического анализа. Цель статьи – объяснение интегралов простым языком. Статья рассчитана на студентов и всех тех, кто интересуется высшей математикой и хочет понять интегральное исчисление, что такое интеграл и какой у него смысл, но испытывает трудности с пониманием учебного материала, написанного заумным языком «для посвящённых». Статья подойдёт и для чайников.


Информация, изложенная ниже, помогает понять смысл и применение интегралов, но не учит решать практические примеры. Серия из отличных статей, заточенных под практическое решение интегралов c примерами, есть на сайте MathProfi.ru.




Введение


Интегралы часто описывают, как нахождение площади под кривой. Это описание слишком узкое: это как сказать, что умножение требуется для нахождения площади прямоугольников. Вычисление площади – полезное применение умножения, но не его цель.


Ключ к пониманию: Интегралы помогают нам складывать величины тогда, когда умножение невозможно.


На минутку я бы хотел встретиться с собой, изучавшим высшую математику в школе, чтобы сказать себе тогда:


«Псс! Интегралы позволяют нам «умножать» переменные величины. Ты привык к «3 х 4 = 12», но что, если одна из величин непостоянна? Ты не можешь умножать переменные величины, и именно поэтому ты должен применять интегрирование.

Ты можешь услышать множество рассуждений о площади; площадь – это только один из способов визуализации умножения. Ключ к пониманию – не площадь, а идея сложения различных величин для получения нового результата.

Когда ты хочешь, но не можешь использовать обычное умножение, ты взводишь орудия и берёшься за интегрирование. Площадь под графиком – это просто техника визуализации, не слишком ею увлекайся. А теперь топай учить матан!»

Настал момент для «ага!»: Интегрирование – это «лучшее умножение», которое работает с переменными значениями. Давайте научимся видеть интегралы в этом свете.



Видео от автора (на английском):




Понимание умножения


Наше понимание умножения менялось с течением времени:


- С целыми числами (3 x 4), умножение – это повторяющееся сложение.


- С вещественными числами (3.12 x √2), умножение – это масштабирование.


- С отрицательными числами (-2.3 x 4.3), умножение – это обратное масштабирование.


- С комплексными числами (перевод этой статьи будет позже – прим. пер.) (3 x 3i), умножение – масштабирование с вращением.




Понимание площади


Площадь – тема тонкая. На сегодня рассмотрим площадь, как визуальное представление умножения.


Площадь фигуры 3x4

Совершив подсчёт клеточек по обеим осям, мы можем их перемножить (3х4) и получим результат (12 квадратных единиц). Свойства каждой стороны (длина и ширина) при перемножении превращаются в результат (единицы в квадрате).


Очень просто, верно? Сейчас станет сложнее. Умножение может привести к «отрицательной площади» (3 х (-4) = -12), которой не может быть.


Мы должны понимать, что график является способом изобразить умножение, и использовать аналогию по назначению. Если бы мы были слепы и у нас не было бы диаграмм, мы бы по-прежнему могли использовать умножение просто отлично. Площадь – это всего лишь интерпретация.




Умножение по частям


Теперь давайте попробуем умножить 3 х 4.5:


Площадь фигуры 3x4.5

Что здесь происходит? Так, 4.5 – это не целое число, но мы можем использовать умножение «по частям». Если 3 х 4 = 3 + 3 + 3 + 3, то:


3 х 4.5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3х0.5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 1.5 = 13.5

Мы взяли 3 (величину) 4.5 раза. То есть, мы сложили тройки в четырёх полностью заполненных сегментах (3 х 4 = 12) и ещё в одном, который заполнен отчасти (3 х 0.5 = 1.5).


Мы так привыкли к умножению, что забываем, как хорошо оно работает. Мы можем разобрать число на условные части (целые и дробные), перемножить каждую часть отдельно и сложить результаты. Обратите внимание, как мы поступили с дробной частью в примере. Это и есть азы интегрирования.




Проблема с цифрами


Числа не всегда стоят на месте, ожидая своего подсчёта. Условия задач типа «Водитель едет 3 часа со скоростью 50 км/ч» придуманы для удобства, но далеки от реального положения дел.


Формулы типа «Расстояние = Скорость х Время» просто маскируют проблему; нам по-прежнему нужно подключать к решению задачи статические числа и прибегать к их умножению. Так как же мы можем найти расстояние, на которое мы прошли, если наша скорость меняется на протяжении всей ходьбы?




Описание изменений значения


Наша первая задача – описать переменную величину. Мы не можем просто сказать, что «наша скорость изменилась с 0 до 50 км/ч». Этого точно недостаточно, возникают вопросы: насколько быстро она менялась? Менялась ли она постепенно?


Конкретизируем: каждую секунду мы достигаем скорости, равной двойному количеству секунд в км/ч. За 1 секунду мы достигаем 2 км/ч. За 2 секунды 4 км/ч. За 3 секунды 6 км/ч, и так далее:


Изменение скорости с течением времени

Теперь это хорошее описание изменения, достаточно подробное, чтобы установить нашу скорость в любой момент. Формальное описание «скорость является функцией времени» означает, что мы можем передать в функцию любой момент времени (t) и получить нашу скорость в этот момент («2t» км/ч).


Это не объясняет, почему скорость и время связаны. Мы можем ускориться под действием гравитации или замедлиться, чтобы пропустить проходящее мимо нас стадо верблюдов. Мы просто говорим, что с изменением времени наша скорость тоже меняется.


Таким образом, наше умножение «Расстояние = Скорость * Время», пожалуй, лучше записать так:


Расстояние = Скорость(t) * t

где Скорость(t) – это скорость в любой момент времени. В нашем случае Скорость(t) = 2t, поэтому запишем:


Расстояние = 2t * t

Но это уравнение всё ещё выглядит странно! «t» по-прежнему выглядит, как одно мгновение, которые нам нужно выбрать (например, t=3 секунды), что означает, что Скорость(t) получит один результат (6 км/ч). Это нехорошо.


При обыкновенном умножении мы можем взять одну скорость и предположить, что она применима ко всему прямоугольнику. Но переменная величина требует от нас сложения скорости и времени по частям (мгновение за мгновением). Каждое мгновение может отличаться.


Это большой, перспективный сдвиг:


- Обычное умножение (прямоугольное): Возьмите величину расстояния, на которое происходит перемещение за одну секунду, и предположите, что то же самое происходит для каждой секунды, затем перемножьте расстояние за секунду на количество секунд.


- Интегрирование (по частям): Смотрите на время, как на последовательность мгновений, каждое из которых имеет свою собственную скорость. Сложите расстояния, пройденные за каждое мгновение.


Мы можем видеть, что обычное умножение является частным случаем интегрирования, когда величины не изменяются.




Насколько велика «часть»?


Насколько мала должна быть «часть», когда считаешь по частям? Секунда? Миллисекунда? Наносекунда?


Быстрый ответ: достаточно маленькой, чтобы значение выглядело одинаково для всей продолжительности. Нам не нужна идеальная точность (перевод этой статьи будет позже – прим. пер.).


Более подробный ответ: такие понятия, как пределы, было изобретены, чтобы помочь нам в умножении по кусочкам. Пределы полезны и являются решением проблемы, но они могут отвлечь от понимания «объединения вещей». Меня беспокоит, что пределы вводятся в самом начале курсов математического анализа, прежде чем мы сможем понять, для решения какой проблемы они были созданы (например, это как показать кому-то ремень безопасности прежде, чем этот кто-то увидел автомобиль). Конечно, это полезная штука, но Ньютон, казалось, хорошо понимал исчисление и без пределов.




Что насчёт начала и конца?


Предположим, мы смотрим на интервал между 3 и 4 секундами.


Скорость в начале (3х2 = 6 км/ч) отличается от скорости в конце (4х2 = 8 км/ч). Так какое же значение мы должны использовать при подсчёте «Скорость * Время»?


Ответ заключается в том, что когда мы разбиваем наши части на ещё более маленькие куски (например, от 3.00000 до 3.00001 секунд), разнице в скорости от начала до конца интервала перестаёт иметь для нас значение. Опять же, это тема для долгого разговора, но «поверьте мне», что такой интервал времени, который делает разницу бессмысленной.


Представьте себе график, где каждый интервал времени обозначен в виде одной точки на линии. Мы можем провести прямую линию до каждой точки, и тогда наш график будет представлять из себя набор линий, измеряющих умножение.




Где находится «часть» и какое у неё значение?


Определить часть, исходя из её значения, было трудно для меня.


«Часть» – рассматриваемый нами интервал (1 секунда, 1 миллисекунда, 1 наносекунда). «Позиция» – это то место, где начинается второй, миллисекундный или наносекундный интервал. Значение – наша скорость на этой позиции.



Например, рассмотрим интервал от 3.0 до 4.0 секунд:


- «Ширина» отрезка времени = 1.0 секунда.

- Позиция (время начала) = 3.0 секунды.

- Значение (Скорость(t) = Скорость(3.0)) = 6.0 км/ч.



Опять же, исчисление позволяет нам уменьшать интервал до тех пор, пока мы не сможем определить разницу в скорости от начала и до конца интервала. Смотрите на общую картину: мы собираем коллекцию частей.




Понимание представления интеграла


У нас есть подходящая идея о «умножении по частям», но не можем её изобразить. «Расстояние = Скорость(t) * t» всё ещё выглядит, как обыкновенное уравнение, где t и Скорость(t) принимают одно значение.


В математическом анализе мы изображаем это так:


Математическое представление интеграла для нахождения расстояния

- Знак интеграла (S-образная фигура) означает, что мы умножаем штуки по частям и складываем их вместе.

- dt – конкретная «часть» времени, которую мы рассматриваем. Это называется «дельта t», а не «d раз по t».

- t – положение dt (если dt является диапазоном от 3.0 до 4.0, то t=3.0).

- Скорость(t) – значение, на которое мы умножаем (Скорость(3.0) = 6.0).


Я вижу несколько проблем с таким представлением:


- То, как используются буквы, сбивает с толку. «dt» выглядит, как «d умноженное на t», в отличие от каждого уравнения, которое вы могли видеть ранее (исключение – пределы и производные – прим. пер.).

- Запись Скорость(t) * dt, а не Скорость(t_dt) * dt. Последнее дало бы понять, что мы рассматриваем «t» в нашей конкретной части «dt», а не какие-то глобальные «t».

- Мы часто можем встретить запись, в которой dt в конце вообще опускается (запись с неявным dt). Из-за этого легко можно забыть, что мы умножаем по кускам.


Уже слишком поздно изменять способ записи интегралов. Просто запомните концепцию более высокого уровня «умножения» чего-то, что имеет свойство изменяться.




Чтение в голове


Когда я вижу:


Математическое представление интеграла для нахождения расстояния

Я думаю, что «расстояние равно времени, умноженному на скорость» (если читать слева направо) или «объединение скорости и времени даёт расстояние» (если читать справа налево).


Я мысленно представляю «Скорость(t)», как скорость, и «dt», как время, и это становится умножением с поправкой на то, что скорость может измениться. Абстракция интегралов наподобие этой помогает мне сосредоточиться на происходящем («мы сочетаем скорость и время, чтобы получить расстояние!») вместо деталей операции.




Бонус: Последующие идеи


Интегралы – глубокая идея, как и умножение. У вас могут возникнуть некоторые вопросы по этой аналогии:


- Если интегралы служат для умножения переменных величин, есть ли что-то, чтобы разделить их? (Да – производные (дифференциалы))


- Являются ли интегралы (умножение) и производные (деление) обратными операциями? (Да, с некоторыми оговорками)


- Можно ли перестроить уравнение из «Расстояние = Скорость * Время» в «Скорость = Расстояние / Время»? (Да)


- Можем ли мы сочетать несколько переменных? (Да, это называется кратным или множественным интегрированием)


- Имеет ли значение порядок, в котором мы сочетаем различные величины? (Обычно нет)



После того, как вы начнёте видеть интегралы, как «лучший способ умножения», вы начнёте искать такие понятия, как «лучший способ деления», «повторные интегралы» и так далее. Зацикливание на «площади под кривой» отключает эти темы от внимания. (Для математических ботаников, понимание «площади под кривой» и «наклона», как инверсии требует многого от студента).




Чтение интегралов


Интегралы имеют много применений. Одно из них – способ объяснить, что две вещи «перемножаются» для получения результата.


Вот как можно выразить площадь круга:


Математическое представление интеграла для нахождения площади круга

Мы бы хотели вычислить площадь круга при помощи обычного умножения. Но мы не можем… высота меняется по мере продвижения по графику. Если мы «развернём» круг, мы сможем увидеть, что каждая часть радиуса – это «радиус * окружность». Мы можем описать это отношение, используя интеграл выше. (Подробнее см. в статье Введение в математический анализ, перевод будет позже – прим. пер.)


А вот интеграл, выражающий идею «Масса = Плотность * Объём»:


Математическое представление интеграла для нахождения массы

Что это значит? Буква «Ро», обозначающая функцию плотности, говорит нам, насколько плотный материал находится в определённом месте, «Ро» dv – это маленькая часть объёма, которую мы рассматриваем. Таким образом, мы умножаем маленькие части объёма (dv) на плотность в этих местах и складываем результаты, чтобы получить массу.


Нам бы хотелось просто перемножить плотность и объём, но, если плотность на всей протяжённости объёма непостоянна, нам нужно применять интегралы. Подстрочный V обозначает «объёмный интеграл», который на самом деле является тройным интегралом, учитывающим длину, ширину и высоту! Интеграл включает в себя четыре «умножения»: три, чтобы найти объём, и ещё один, чтобы умножить его на плотность.


Мы можем понять, что обозначают такие уравнения, без их решения.




Вперёд и вверх


Сегодняшняя цель не состоит в том, чтобы строго понимать математический анализ. Цель – расширить нашу ментальную модель и понять, что есть другой способ объединения вещей: мы можем складывать, вычитать, умножать, делить… и интегрировать.


Смотрите на интегралы, как на лучший способ умножения: математический анализ станет проще, а вы сможете интуитивно понимать такие вещи, как кратные (множественные) интегралы и производные. Счастливой математики!




Статьи из серии про мат. анализ от Kalid Azad:




Комментарии

Данная страница не является рекламой