Предыстория мат. анализа: Открытие числа Пи

17 мар 2019 в 23:52

Данная статья является переводом статьи Prehistoric Calculus: Discovering Pi.


Автор оригинала: Kalid Azad, перевёл: Филипп Сорокин.


Цель статьи – интуитивный взгляд и изучение ранних методов для нахождения числа пи.




Введение


Пи загадочен. Конечно, вы «знаете», что его значение приблизительно 3.14159, потому что прочитали об этом в какой-нибудь книге. Но что, если бы у вас не было ни учебников, ни компьютеров, ни математического анализа (о господи) – только ваш мозг и лист бумаги. Смогли бы вы найти пи?


Архимед нашёл пи с точностью 99.9% 2000 лет назад – без десятичных знаков и даже числа ноль! Ещё лучше, он разработал методы, которые стали основой математического анализа. Я бы хотел изучать его открытие пи в школе – это помогло бы понять, что заставляет мат. анализ работать.




Как мы можем найти пи?


Пи – длина окружности с диаметром в 1 условную единицу. Как мы можем получить это число?


- Можем просто предположить, что пи = 3.

- Нарисуем круг твёрдой рукой, проложим по контуру нить и измерим её нашей лучшей линейкой.

- Пройдём в дверь №3.


Что за дверью №3? Математика!




Как это сделал Архимед?


Архимед не знал длину окружности. Но его это не беспокоило, и он начал с того, о чём знал: с периметра квадрата. (На самом деле он использовал шестиугольники, но с квадратами проще работать и их проще рисовать, так что давайте начнём с них, хорошо?)


Мы не знаем длины окружности, но потехи ради давайте нарисуем его между двумя квадратами:


Нахождение пи с помощью двух квадратов

Получилось изящно – как гоночная дорога, вписанная промеж внутренних и внешних границ. Какой бы ни была длина окружности, она находится где-то между периметрами квадратов: больше, чем у внутреннего, но меньше, чем у внешнего.


А поскольку квадраты, ну, квадратные, мы легко можем найти их периметры:


- Внешний квадрат (легко): сторона = 1, поэтому периметр = 4.


- Внутренний квадрат (сложнее): Диагональ = 1 (из верхней точки в нижнюю). Используем теорему Пифагора (перевод этой статьи будет позже – прим пер.), сторона2 + сторона2 = 1, поэтому сторона = √(1/2) или приблизительно 0.7. Периметр равен 0.7 * 4 = 2.8.


Мы можем не знать, каков пи, но эта тварь сидит между 2.8 и 4. Предположим, что пи находится посерёдке между ними, иначе говоря, пи = 3.4.




Квадраты курят в сторонке, восьмиугольники решают


Мы допустили, что пи = 3.4, но, честно говоря, мы могли бы сделать это более точно, используя нитку с линейкой. Почему наше предположение такое плохое?


Квадраты неуклюжи. Они не соответствуют кругу в достаточной мере, а зазоры дают приблизительное, полное ошибок вычисление. Но увеличение сторон (возможно, использование мифического восьмиугольника) может дать нам более уместное размещение и лучшее предположение (изображение отсюда):

Пи Архимеда: Больше сторон = Лучше "Окружность"

Круто! Увеличивая количество сторон, мы приближаемся к форме круга.


Итак, какой периметр у восьмиугольника? Я не уверен, что учил эту формулу. Пока мы не начали, возможно, стоит подумать об использовании 16-угольников или 32-угольников для более точного вычисления? Опять же, каковы их периметры?


Однако это трудные вопросы. К счастью, Архимед использовал креативную тригонометрию для выведения формул для нахождения периметра фигуры в случае, когда количество сторон удваивается.


Внутренний периметр: Один сегмент внутри (например, сторона квадрата) – это sin(x/2), где x – угол, охватывающий сторону. Например, одна сторона внутреннего квадрата – это sin(90/2) = sin(45) = ~0.7. Полный периметр 4 * 0.7 = 2.8, как мы обнаруживали раньше.


Внешний периметр: Один сегмент снаружи – это tan(x/2), где x – угол, охватывающий одну сторону. Таким образом, один сегмент внешнего периметра – это tan(45) = 1, для общего периметра, равного 4.


Прекрасно – у нас есть простая формула! Чем больше сторон мы добавляем, тем меньше становится угол:


- У квадратов внутренний периметр равен 4 * sin(90/2).


- У восьмиугольников восемь углов по 45 градусов, внутренний периметр равен 8 * sin(45/2).


Вы только посмотрите – использование квадратов (стороны=4) даёт нам 91% точность, а при использовании восьмиугольников (стороны=8) точность повышается до 98%!


Но здесь есть одна проблема: у Архимеда не было калькулятора с кнопкой «sin»! Вместо этого он использовал тригонометрические тождества, чтобы пересчитать sin и tan, используя их предыдущие значения:


Новый внешний периметр (среднее гармоническое):


Новый внешний периметр (среднее гармоническое)

Новый внутренний периметр (среднее геометрическое):


Новый внутренний периметр (среднее геометрическое)

Эти формулы просто используют арифметику – тригонометрия не требуется. С тех пор, как мы начали с известных нам чисел типа √2 и 1, мы можем повторно применять эти формулы для увеличения количества сторон и лучшего предположения для пи.


Кстати, эти спецсредства (перевод этой статьи будет позже – прим. пер.) показывают себя странным образом, не так ли? У меня нет хорошего интуитивного понимания тригонометрических тождеств, поэтому мы оставим битву с ними на другой день.




Натягиваем формулу


Начав с четырёхугольников (квадратов), мы нашли путь к нахождению более точного пи (скачать таблицу):


Вычисление пи в зависимости от количества сторон у фигуры

Каждый раз, когда мы удваиваем количество сторон (4, 8, 16, 32, 64), мы уменьшаем диапазон, в котором может находиться значение пи. Будем предполагать, что пи на полпути между внутренней и внешней границами.


После 3 шагов (32 стороны) наша точность уже 99.9%. После 7 шагов (512 сторон) у нас уже почётные «пять девяток». И после 17 шагов, или полумиллиона сторон, наше предположение для пи достигает предельно возможной в Excel точности. Неплохая техника, Архимед!


К сожалению, десятичные дроби ещё не были изобретены в 250 году до н.э., не говоря уже об электронных таблицах. Поэтому Архимеду приходилось работать с этими формулами, используя дроби. Он начинал с шестиугольников (6 сторон) и продолжал множить стороны (12, 24, 48, 96), пока ему не надоело (вы когда-нибудь пытались найти квадратный корень, используя только дроби?). Используя 96-стороннюю фигуру, он сделал своё окончательное предположение для пи:


Окончательное предположение Архимеда для пи

Среднее значение определяет пи равным 3.14185, что точно более, чем на 99.9%. Нехило!


Если вам нравятся дроби, таинственно симметричные 355/113 – чрезвычайно точная (99.99999%) оценка пи, которая была лучшей у человечества почти за тысячелетие.


Некоторые люди используют 22/7 для пи, но теперь вы можете посмеяться: «Боже мой, 22/7 – это просто верхняя граница, найденная Архимедом 2000 лет назад!», поправляя свой монокль. Кстати, вот здесь есть формулы получше.




Где математический анализ?


Архимед не «занимался исчислением», но заложил основу для его развития: начинание с грубой модели (квадрата, имитирующего круг) и её уточнение.


Мат. анализ вращается вокруг этих тем:


- Мы не знаем ответа, но предполагаем. У нас было предположение для пи: где-то между 2.8 и 4. Мат. анализ содержит множество понятий, таких как Ряд Тейлора для построения догадок с различной степенью точности.


- Давайте сделаем нашу догадку лучше. Архимед обнаружил, что добавление сторон даёт лучшую оценку. Существуют численные методы для уточнения формулы снова и снова. Например, компьютеры могут начать с грубого предположения о квадратном корне и улучшать его (это быстрее, чем искать ответ сразу).


- Вы можете бежать, но не прятаться. Мы не знали точно, где находится пи, но мы заперли его между двумя границами. И мы знали, что пи скрывается где-то внутри них, когда ужесточали границы. Это формально известно, как Теорема Сжатия (О двух милиционерах).


- Пи – недостижимый идеал. Нахождение пи – это процесс, который никогда не закончится. Когда мы видим π, это означает: «Вы хотите совершенства? Это хорошо – все чего-то хотят. Просто начните двигаться и остановитесь, когда пи будет достаточно хорош для вас.».


Я повторю ещё раз: достаточно хорош означает хорош достаточно. Фигура с 96 сторонами оказалась достаточно точной для всего, что нужно было сотворить Архимеду.


Есть мнение, что «приблизительные подсчёты» странные – разве математика не должна быть точной наукой? Математика – это модель для описания мира (перевод этой статьи будет позже – прим. пер.). Наши уравнения не должны быть острыми, как бритва, если Вселенная и наши инструменты неточные.




Уроки жизни


Даже математика может скрывать в себе жизненные уроки. Иногда лучшее – враг хорошего. Перфекционизм («мне нужно точное значение пи!») может препятствовать поиску хороших, полезных результатов.


Независимо от того, делаете ли вы оценки или разрабатываете программное обеспечение, возможно, вы можете начать с грубой версии и улучшить её со временем, не беспокоясь об идеальной модели (это сработало для Архимеда!). Большая часть точности может быть получена на начальных этапах, и будущие усовершенствования могут оказаться большой работой для маленькой выгоды (Принцип Парето в действии (перевод этой статьи будет позже – прим. пер.)).


По иронии судьбы, «грубые» методы, которые мы могли видеть здесь, привели к появлению исчисления (математического анализа), которое, в свою очередь, привело к появлению лучших формул для пи.




Математические уроки


Мат. анализу часто не хватает интуитивного обоснования – мы можем считать яблоки, чтобы проверить арифметику, но трудно думать об абстрактных уравнениях, которые постоянно уточняются.


Открытие Архимедом пи является ярким, конкретным примером для нашего инструментария. Точно так же, как геометрия оттачивает нашу интуицию относительно линий и углов, математический анализ определяет правила относительно уравнений, которые со временем становятся лучше. Примеры, подобные этому, помогают использовать интуицию в качестве отправной точки вместо изучения новых идей в вакууме.


Позже мы обсудим, что имеется в виду, когда говорится, что числа должны быть «достаточно близки». Просто помните, что 96 сторон было предостаточно для Архимеда, а полмиллиона сторон предостаточно для Excel. У нас у всех свои пределы.




Статьи из серии про мат. анализ от Kalid Azad:




Комментарии

Данная страница не является рекламой